分野別過去問解説の第四弾です。今回は微分（関数の最大値を求める）の問題を二問。最後に東大数学の微分の問題の特徴，傾向についても述べます。
問題１
まずは2011年第一問（文理共通）。
問題１の解答
(1)直線$QR$と$y$軸の交点を$A$とする。$A$の$y$座標は$a$なので$PA=1-a$である。あとは$Q$の$x$座標$q_x$と$R$の$x$座標$r_x$の差を求めればよい。
$q_x,r_x$は，円の方程式$x^2+(y-1)^2=1$と直線の方程式$y=a(x+1)$から$y$を消去した$x$についての方程式の解である。実際に$y$を消去すると，
$x^2+a^2(x+1)^2-2a(x+1)=0$
$(a^2+1)x^2++2(a^2-a)x+a^2-2a=0$
よって，解と係数の関係より，
$q_x+r_x=-\frac{2(a^2-a)}{a^2+1},\:\:q_xr_x=\frac{a^2-2a}{a^2+1}$
これを用いると，
$|q_x-r_x|=\sqrt{(q_x+r_x)^2-4q_xr_x}=\frac{2\sqrt{2a}}{a^2+1}$
以上より求める面積は，
$S(a)=\frac{1-a}{2}\cdot\frac{2\sqrt{2a}}{a^2+1}=\frac{(1-a)\sqrt{2a}}{a^2+1}$
(2)$S(a)$を頑張って微分すると，
$S'(a)=\frac{(a+1)(a-2+\sqrt{3})(a-2-\sqrt{3})}{(a^2+1)^2\sqrt{2a}}$
よって，$S(a)$が最大となるのは$a=2-\sqrt{3}$のときである。
問題１のポイント，補足
・(1)は東大にしては考え方が易しめなので「少々大変でもとにかく計算をやりきること」「結果に自信を持って(2)に進めるように検算をすること」が重要です。
・検算方法の例として，(1)の答えに$a=0$や$a=1$を代入すると0になることが確認できます。
・(2)もただ微分するだけの易問です。$S(a)$のルートを外すために二乗してから微分するという方法もありますが，計算量はほとんど変わりません。
・(2)の答え$2-\sqrt{3}$はだいたい$0.27$です。これは直感的にも正しそうな値なので自信を持って次の問題に行けます。
問題２
続いて1998年理系第一問（文理共通）。
問題２の解答
$f(x)$を微分すると，
$f'(x)=9x^2-6(a-\frac{1}{a})x-4=(3x-2a)(3x+\frac{2}{a})$
よって，極大値と極小値の差は$f(\frac{2}{3}a)$と$f(-\frac{2}{3a})$の差である。計算していくと，
$f(\frac{2}{3}a)-f(-\frac{2}{3a})=(\frac{4}{3}a^2-4)(\frac{1}{a}-\frac{a}{3})-(\frac{4}{3a^2}-4)(\frac{1}{3a}-a)\\=\frac{4}{9a^3}(a^6+3a^4+3a^2+1)\\
=\frac{4}{9a^3}(a^2+1)^3$
となる。$a$を$-a$にしても極大値と極小値の差は変わらない。よって，以下$a$が正の場合を考える。
ここからは微分ではなく相加相乗平均の不等式を用いるのが賢い。
$\frac{4}{9a^3}(a^2+1)^3=\frac{4}{9}(a+\frac{1}{a})^3\\\geq\frac{4}{9}\left(2\sqrt{a\cdot\frac{1}{a}}\right)^3\\
=\frac{32}{9}$
等号成立は$a=1$のとき。よって答えは$a=\pm 1$
問題２のポイント，補足
・これも東大にしてはかなりの易問。計算ミスのないように何度も検算すべき。
・ちなみに（$f'(x)=0$の解を$\alpha,\beta$とおき），
$f(\alpha)-f(\beta)=\int_{\beta}^{\alpha}f'(x)dx$
を用いて計算することもできる。この方法の方が計算は楽だが，発想力が必要。本番は愚直な方法でも良いから完答することが重要。
まとめ〜東大微分の傾向〜
・微分を中心とした問題は易しい問題が多い（一方積分中心の問題は発想，計算ともに難しい問題が多い）。
・ただし，微分の計算自体はかなり複雑な問題もある。発想力では差がつかないことが多く，とにかく計算ミスをしないことが重要。
・今回の問題１のように，前半の小問で図形のとある量を計算させ，後半の小問でその量の最大値（または最小値）を微分を使って求めさせる問題が頻出。