今回は昨年の文系専用問題を紹介。文系数学としては“やや難”の評価を受けている問題ですが、理系の皆さんにはサクッと解いてほしい……解けますよね？
＜問題PDF＞
以下の問いに答えよ。ただし, (1)については, 結論のみを書けばよい。
(1) $n$ を正の整数とし, $3^n$ を $10$ で割った余りを $a_n$ とする。$a_n$ を求めよ。
(2) $n$ を正の整数とし, $3^n$ を $4$ で割った余りを $b_n$ とする。$b_n$ を求めよ。
(3) 数列 $\{x_n \}$ を次のように定める。
$x_1=1, \quad x_{n+1}=3^{x_n} (n=1,2,3,⋯)$
$x_{10}$ を $10$ で割った余りを求めよ。
＜略解PDF＞
＜略解＞
(1)
$3^4=81 \equiv 1 \pmod {10}$ より, 任意の非負整数 $k$ に対して,
$3^{4k}=(3^4 )^k \equiv 1 \pmod{10} \\
3^{4k+1}=3 \cdot (3^4 )^k \equiv 3 \pmod {10} \\
3^{4k+2}=9 \cdot (3^4 )^k \equiv 9 \pmod {10}\\
3^{4k+3}=27 \cdot (3^4 )^k \equiv 7 \pmod {10}$
が成り立つ．よって,
$a_n= \begin{cases}
3 & (n が 4 で割って 1 余る数のとき) \\
9 & (n が 4 で割って 2 余る数のとき) \\
7 & (n が 4 で割って 3 余る数のとき) \\
1 & (n が 4 の倍数のとき)\end{cases}$
……（答）
(2)
$3^2=9 \equiv 1 \pmod 4$ より, 任意の非負整数 $k$ に対して,
$3^{2k}=(3^2 )^k \equiv1 \pmod 4 \\
3^{2k+1}=3 \cdot (3^2 )^k \equiv3 \pmod 4$
が成り立つ。よって,
$b_n= \begin{cases}
3 & (n が奇数のとき) \\
1 & (n が偶数のとき)\end{cases}$
……（答）
(3)
定義式から, 数列 $\{x_n\}$ は自然数の列であると言えるから, $x_8=3^{x_7}$ は奇数である．
∴ (2)より, $ x_9=3^{x_8}$ を $4$ で割った余りは $3$ であると言えるので, (1)より, $x_{10}=3^{x_9}$ を $10$ で割った余りは
$7$
……（答）
(1)、(2)のような累乗の余りに関する問題では、まず”余り 1”を見つけ、それを基準に考えるのがポイントでした。(3)ではそれまでの結果をうまく使えましたか？
時にひらめきを要し、東大数学では難問率の高い整数問題ですが、それでも最低限押さえておくべきパターンはいくつかあるので、苦手意識のある人も大きな差をつけられないよう、まずそこだけは押さえておくようにしましょう。
2017/02/09 石橋雄毅