10年以上前の文系専用問題を1問。解法は典型的ですが、理系でも出来ない人は少なくない印象です。2完を安定させたい人は、こういった問題を余裕で突破できるだけの力をつけておきたい。
＜問題PDF＞
$0$ 以上の実数 $s , t$ が $s^2+t^2=1$ をみたしながら動くとき，方程式
$x^4-2(s+t)x^2+(s-t)^2=0$
の解のとる値の範囲を求めよ。
＜略解PDF＞
＜略解＞
$s+t=k$ とおき，さらに $(s,t)=(\cos{θ}, \sin{θ})$ $(0≦θ≦\frac{π}{2})$ とおくと，
$k=\sqrt{2}\sin{(θ+\frac{π}{4})}$
となるから，$1≦k≦\sqrt{2}$ ……①
また， $s^2+t^2=1$ より $2st=k^2-1$ となるから，与えられた方程式は
$k^2+2x^2k-x^4-2=0$
と整理できる．
これを $k$ についての2次方程式と見れば，これが①の範囲に解をもつような $x$ の範囲を考えればよい．
$f(k)=k^2+2x^2k-x^4-2$
とおくと，求める条件は
$f(1)f(\sqrt{2})≦0$
これを解いて，
$0≦x^2≦2\sqrt{2}$
∴ 与えられた方程式の解が取り得る値の範囲は
$-2^{\frac{3}{4}}≦x≦2^{\frac{3}{4}}$
……（答）
対称式をうまく使って逆像法の議論に持ち込む手法は大変差のつきやすいところ。必ずマスターしておきましょう！
2016/08/04 石橋雄毅