理系のための東大文系数学 2016年 第4問（10 で割った余りは？）

今回は 2016 年度入試の文系第 4 問をご紹介します。
文系受験生でもさほど苦労しない問題ですから，理系のみなさんは 10 分くらいでパパッと攻略できるようにしたいですね！

問 題

以下の問いに答えよ。ただし，(1) については，結論のみを書けばよい。

(1) $n$ を正の整数とし，$3^n$ を 10 で割った余りを $a_{n}$ とする。$a_{n}$ を求めよ。

(2) $n$ を正の整数とし，$3^n$ を 4 で割った余りを $b_{n}$ とする。$b_{n}$ を求めよ。

(3) 数列 $\{ x_{n} \}$ を次のように定める。

　　　$x_{1} = 1, \, x_{n+1} = 3^{x_{n}} \quad (n = 1, \, 2, \, 3, \, \cdots)$

　$x_{10}$ を 10 で割った余りを求めよ。

2016年 東京大学 前期二次試験 数学（文科） 第4問

解 答

(1)

$3^4 = 81 \equiv 1 \pmod{10}$ より，任意の非負整数 $k$ に対し

$$
\begin{align}
3^{4k}=(3^4 )^k \equiv 1 \pmod{10} \\ 3^{4k+1}=3 \cdot (3^4 )^k \equiv 3 \pmod {10} \\ 3^{4k+2}=9 \cdot (3^4 )^k \equiv 9 \pmod {10}\\ 3^{4k+3}=27 \cdot (3^4 )^k \equiv 7 \pmod {10}
\end{align}
$$

が成り立つ。よって，

$$
\begin{align}
a_n= \underline{
\begin{cases} 3 & (n \, {\rm が} \, 4 \, {\rm で割って} \, 1 \, {\rm 余る数のとき}) \\
9 & (n \, {\rm が} \, 4 \, {\rm で割って} \, 2 \, {\rm 余る数のとき}) \\
7 & (n \, {\rm が} \, 4 \, {\rm で割って} \, 3 \, {\rm 余る数のとき}) \\
1 & (n \, {\rm が} \, 4 \, {\rm の倍数のとき})\end{cases}
}
\quad \cdots 答
\end{align}
$$

(2)

$3^2 = 9 \equiv 1 \pmod{4}$ より，任意の非負整数 $k$ に対し

$$
\begin{align}3^{2k} = (3^2 )^k \equiv1 \pmod 4 \\
3^{2k+1}=3 \cdot (3^2 )^k \equiv3 \pmod 4
\end{align}
$$

が成り立つ。よって,

$$
\begin{align}
b_n = \underline{
\begin{cases}
3 & (n \, {\rm が奇数のとき}) \\
1 & (n \, {\rm が偶数のとき})
\end{cases}
}
\quad \cdots 答
\end{align}
$$

(3)

定義より数列 $\{x_n\}$ は自然数の列であるため，$x_8=3^{x_7}$ は奇数である。(2)より，$ x_9=3^{x_8}$ を $4$ で割った余りは $3$ であると言えるので，(1)より $x_{10}=3^{x_9}$ を $10$ で割った余りは $\underline{7} \quad \cdots 答$ となる。

コ メ ン ト

(1), (2) のような累乗の余りに関する問題では，まず ”余り 1” を見つけ、それを基準に考えるのがポイントでした。

(3) ではそれまでの結果をうまく使えましたか？
ときにひらめきを要し，東大数学では難問率の高い整数問題ですが，それでも最低限押さえておくべきパターンはいくつかあります。
苦手意識のある人も大きな差をつけられないよう，まずは今回のような問題は解けるようにしておきましょう！