理系のための東大文系数学 2016年 第4問(10 で割った余りは?)

東大数学の過去問には良問が多いですが,直前にセットで解く用に解かずに取っておく人は少なくありません。 ただ,東大模試の問題ももちろん悪くはないのですが,やはりオリジナルの問題は別格です。 そこで理系の皆さんは,東大入試で文系数学として出題されたものの中で,文系数学の問題を解いてみるのはいかがでしょうか? 出題範囲は 数学Ⅰ, A, II, B に限られますが,理系で出されてもおかしくない問題が結構ありますし,仮に出題された場合ちょうど合否を分けるレベルになっていることも珍しくありません。 少しでも本番に近い問題を解いて,東大合格に近付きましょう!

今回は 2016 年度入試の文系第 4 問をご紹介します。
文系受験生でもさほど苦労しない問題ですから,理系のみなさんは 10 分くらいでパパッと攻略できるようにしたいですね!

問 題

以下の問いに答えよ。ただし,(1) については,結論のみを書けばよい。

(1) $n$ を正の整数とし,$3^n$ を 10 で割った余りを $a_{n}$ とする。$a_{n}$ を求めよ。

(2) $n$ を正の整数とし,$3^n$ を 4 で割った余りを $b_{n}$ とする。$b_{n}$ を求めよ。

(3) 数列 $\{ x_{n} \}$ を次のように定める。

   $x_{1} = 1, \, x_{n+1} = 3^{x_{n}} \quad (n = 1, \, 2, \, 3, \, \cdots)$

 $x_{10}$ を 10 で割った余りを求めよ。

2016年 東京大学 前期二次試験 数学(文科) 第4問

解 答

(1)

$3^4 = 81 \equiv 1 \pmod{10}$ より,任意の非負整数 $k$ に対し

$$
\begin{align}
3^{4k}=(3^4 )^k \equiv 1 \pmod{10} \\ 3^{4k+1}=3 \cdot (3^4 )^k \equiv 3 \pmod {10} \\ 3^{4k+2}=9 \cdot (3^4 )^k \equiv 9 \pmod {10}\\ 3^{4k+3}=27 \cdot (3^4 )^k \equiv 7 \pmod {10}
\end{align}
$$

が成り立つ。よって,

$$
\begin{align}
a_n= \underline{
\begin{cases} 3 & (n \, {\rm が} \, 4 \, {\rm で割って} \, 1 \, {\rm 余る数のとき}) \\
9 & (n \, {\rm が} \, 4 \, {\rm で割って} \, 2 \, {\rm 余る数のとき}) \\
7 & (n \, {\rm が} \, 4 \, {\rm で割って} \, 3 \, {\rm 余る数のとき}) \\
1 & (n \, {\rm が} \, 4 \, {\rm の倍数のとき})\end{cases}
}
\quad \cdots 答
\end{align}
$$

(2)

$3^2 = 9 \equiv 1 \pmod{4}$ より,任意の非負整数 $k$ に対し

$$
\begin{align}3^{2k} = (3^2 )^k \equiv1 \pmod 4 \\
3^{2k+1}=3 \cdot (3^2 )^k \equiv3 \pmod 4
\end{align}
$$

が成り立つ。よって,

$$
\begin{align}
b_n = \underline{
\begin{cases}
3 & (n \, {\rm が奇数のとき}) \\
1 & (n \, {\rm が偶数のとき})
\end{cases}
}
\quad \cdots 答
\end{align}
$$

(3)

定義より数列 $\{x_n\}$ は自然数の列であるため,$x_8=3^{x_7}$ は奇数である。(2)より,$ x_9=3^{x_8}$ を $4$ で割った余りは $3$ であると言えるので,(1)より $x_{10}=3^{x_9}$ を $10$ で割った余りは $\underline{7} \quad \cdots 答$ となる。

コ メ ン ト

(1), (2) のような累乗の余りに関する問題では,まず ”余り 1” を見つけ、それを基準に考えるのがポイントでした。

(3) ではそれまでの結果をうまく使えましたか?
ときにひらめきを要し,東大数学では難問率の高い整数問題ですが,それでも最低限押さえておくべきパターンはいくつかあります。
苦手意識のある人も大きな差をつけられないよう,まずは今回のような問題は解けるようにしておきましょう!

この記事の著者/編集者

林俊介   

東大生講師によるオンライン家庭教師の運営をしたり,登録者22,000 人超えの YouTube チャンネルで大学入試問題の解説をしたりしています。

2019年 東大物理学科卒
Twitter: @884_96

この連載について

理系のための東大文系数学

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