連載理系のための東大文系数学

理系のための東大文系数学 1995年 第4問(器はどれくらい傾いている?)

東大数学の過去問には良問が多いですが,直前にセットで解く用に解かずに取っておく人は少なくありません。 ただ,東大模試の問題ももちろん悪くはないのですが,やはりオリジナルの問題は別格です。 そこで理系の皆さんは,東大入試で文系数学として出題されたものの中で,文系数学の問題を解いてみるのはいかがでしょうか? 出題範囲は 数学Ⅰ, A, II, B に限られますが,理系で出されてもおかしくない問題が結構ありますし,仮に出題された場合ちょうど合否を分けるレベルになっていることも珍しくありません。 少しでも本番に近い問題を解いて,東大合格に近付きましょう!

今回は結構古めの問題をピックアップ。
現行課程でギリギリ 数学Ⅱ の積分における発展事項くらいの内容ですが,実質 数学Ⅲ の範囲の問題です。
東大理系用の問題とするには軽すぎですが,数学Ⅲ の積分を習いたての高校生にはちょうどよい問題かもしれません。

問 題

半径 $1 \, {\rm cm}$ の半球形の器が水平から角 $\theta$ だけ傾けて固定されている。ただし $0 < \theta < \displaystyle\frac{\pi}{2}$ とする。この器に毎秒 $\displaystyle\frac{\pi}{18} \, {\rm cm^3}$ の割合で水を入れるとき,入れはじめてから $3 + \cos^2 \theta$ 秒後に器から水が流れ出した。このときの $\theta$ の値を求めよ。

1995年 東京大学 前期二次試験 数学(文科) 第4問

解 答

水が流れ出した瞬間の容器内の水の体積は,半径 1 の球を, 中心からの距離が $\sin \theta$ である平面で切ったときの,球の中心を含まない方の立体の体積に等しい。

半径 1 の球を単位円の回転体と考えれば,水の体積は,

$\displaystyle\int_{\sin{\theta}}^1 \pi \left( \sqrt{1-x^2} \right)^2 dx = \frac{\pi}{3} \left( \sin^3{\theta} - 3 \sin{\theta} +2 \right)$

これが $\displaystyle\frac{\pi}{18} \left( 3+ \cos^2 \theta \right) = \frac{\pi}{18} \left( 4 - \sin^2 \theta \right)$ に等しいから,

$$
\begin{align}
\frac{\pi}{3} \left( \sin^3{\theta} - 3 \sin{\theta}+2 \right) = \frac{\pi}{18} \left( 4-\sin^2{\theta} \right) \\
\Leftrightarrow \left( 2\sin{\theta}-1\right) \left( \sin{\theta}+2 \right) \left( 3 \sin{\theta}-4 \right)=0
\end{align}
$$

$|\sin \theta| \leqq 1$ より $\sin \theta = \displaystyle\frac{1}{2}$ であり,$0 < \theta < \displaystyle\frac{\pi}{2}$ であるから $\underline{\theta = \displaystyle\frac{\pi}{6}}$ となる。$\quad \cdots 答$

コ メ ン ト

球と平面,円と直線の位置関係は,中心からの距離のみで決まることを改めて強く意識しておきましょう。
図が傾くとそれが見えなくなってしまう人がどうも少なくないようです。

また,三角関数についての 3 次方程式の解を求める場面も,地味ながら手を止めてしまいがちです。
見かけが若干複雑なので,すぐに計算ミスばかり疑ってハマってしまうようなのですが,具体的な値を求める問題であれば,それが正しい式なら因数分解できるはず。
一般的な問題集ではなかなか出会わない場面かもしれませんが,3 次方程式を同様の流れで解くことは東大入試で時折登場します。留意しておきましょう。

この記事の著者/編集者

林俊介 東大入試ドットコム 編集長 

東大入試ドットコムの編集長です。 東大生講師によるオンライン家庭教師の運営をしたり,登録者 17,000 人超えの YouTube チャンネルで大学入試問題の解説をしたりしています。 2019年 東大物理学科卒 Twitter: @884_96

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