理系のための東大文系数学 2008年 第3問（条件をみたす点の軌跡）

今回は「図形と方程式」の単元から 1 題ピックアップしました。
解法選択も一つの分岐点ですが，どのみちそれなりに煩雑な計算が待っています。
しんどい問題ですが，理系受験生であれば正答に辿り着いてほしいところです。

問 題

座標平面上の 3 点 $\mathrm{A}(1,0)$, $\mathrm{B}(-1,0)$, $\mathrm{C}(0,-1)$ に対し，

$\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{P}\mathrm{C}=\mathrm{\angle }\mathrm{B}\mathrm{P}\mathrm{C}$

をみたす点 $\mathrm{P}$ の軌跡を求めよ。ただし $\mathrm{P}\ne \mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$ とする。

2008年 東京大学 前期二次試験 数学（文科） 第3問

解 答

$\mathrm{P}(x,y)$ とおき，$x$ と $y$ のみたすべき関係式を求める。まず $\mathrm{P}\ne \mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$ より $(x,y)\ne (\pm 1,0),(0,-1)$ である。問題文の条件式は

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{P}\mathrm{C}=\mathrm{\angle }\mathrm{B}\mathrm{P}\mathrm{C}& \iff \cos \mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{P}\mathrm{C}=\cos \mathrm{\angle }\mathrm{B}\mathrm{P}\mathrm{C}\\ & \iff \frac{\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{A}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{C}}}{|\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{A}}||\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{C}}|}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{B}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{C}}}{|\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{B}}||\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{C}}|}\\ & \iff (\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{A}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{C}})|\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{B}}|=(\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{B}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{C}})|\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{A}}|\end{array}$$

と言い換えられる（この最後の式を (*) とする）。ここで

$$\begin{array}{r}\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{A}}=(1-x,-y),\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{B}}=(-x-1,-y),\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{C}}=(-x,-1-y)\end{array}$$

を代入して整理すれば，

$$\begin{array}{rl}(\ast )& \iff (x^2-x+y^2+y)\sqrt{(x+1{)}^2+y^2}\\ & =(x^2+x+y^2+y)\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}\\ & \iff \{\begin{array}{l}{x}^2-x+y^2+y\mathrm{と}{x}^2+x+y^2+y\mathrm{が}\mathrm{異}\mathrm{符}\mathrm{号}\mathrm{で}\mathrm{な}\mathrm{い}\\ xy(x^2+y^2-1)=0\end{array}\\ & \iff \{\begin{array}{l}\{{(x-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+{(y+{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}\}\\ \cdot \{{(x+{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+{(y-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}\}\geqq 0\\ x=0\mathrm{ま}\mathrm{た}\mathrm{は}y=0\mathrm{ま}\mathrm{た}\mathrm{は}{x}^2+y^2=1\end{array}\end{array}$$

となる。以上より，条件をみたす点 $\mathrm{P}(x,y)$ の軌跡は次図の太線部のようになる。ただし点 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$ を除く。

コ メ ン ト

問題文の条件式は至ってシンプルなのですが，点 $\mathrm{P}$ の座標を $(x,y)$ として条件式をいざ立ててみると，思いの外計算が大変になります。
上の解説では条件式を整理する過程を省いているので，各自で計算してみてください。
想像以上に大変だと思います。

今回の解法は何も工夫をしていないため，すぐに答案作成に取り組むことができます。一方で無策といえば無策であるため，途中計算が大変になりました。
逆に，最初に面倒でもちょっと工夫をすることで，計算式の次数を下げられる解法もあります。
たとえば $\mathrm{P}\mathrm{A}=a,\mathrm{P}\mathrm{B}=b,\mathrm{P}\mathrm{C}=c$ として $a,b,c$ を用いて同じように $\cos$ の条件式を立ててみると，早い段階で因数分解された条件式が出てきます。
これにより，式の次数を抑えつつ計算が進められるので多少楽です。

また，意欲ある受験生のみで構いませんが，この問題は複素数平面を用いた解法もあります。
興味のある人はぜひ試してみてください！