理系のための東大文系数学 2013年 第2問（放物線の面白い性質）

見る人が見れば「数Ⅲ？」と感じるかもしれませんが，今回もあくまで文系数学の過去問です。
できる人にとっては何でもないのですが，数学が苦手な人にとってはちょっと発想力が要る，という立ち位置にある問題のようです。

東大数学に必要な最低限の思考力が備わっているかどうか，確かめてみてください！

問 題

座標平面上の 3 点

　　${\rm P}(0, - \sqrt{2}), \quad {\rm Q}(0, \sqrt{2}), \quad {\rm A}(a, \sqrt{a^2 + 1}) \quad (0 \leqq a \leqq 1)$

を考える。

(1) 2 つの線分の長さの差 ${\rm PA} - {\rm AQ}$ は $a$ によらない定数であることを示し，その値を求めよ。

(2) ${\rm Q}$ を端点とし ${\rm A}$ を通る半直線と放物線 $y = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{8} x^2$ との交点を ${\rm B}$ とする。点 ${\rm B}$ から直線 $y = 2$ へ下ろした垂線と直線 $y = 2$ との交点を ${\rm C}$ とする。このとき，線分の長さの和

　　　　${\rm PA} + {\rm AB} + {\rm BC}$

は $a$ によらない定数であることを示し，その値を求めよ。

2013年 東京大学 前期二次試験 数学（文科） 第2問

解 答

(1)

$$
\begin{align}
{\rm PA} - {\rm AQ}
& = \sqrt{a^2 + (\sqrt{a^2 + 1}+\sqrt{2})^2} \\
& \quad \quad - \sqrt{a^2+(\sqrt{a^2+1} - \sqrt{2})^2} \\
& = \sqrt{2a^2 + 3 + 2 \sqrt{2 (a^2+1) } } \\
& \quad \quad - \sqrt{2a^2 + 3 - 2 \sqrt{2 (a^2 + 1)}} \\
& = \left( \sqrt{2a^{2} + 2} +1 \right) - \left( \sqrt{2a^{2} + 2} - 1 \right) \\
& = 2
\end{align}
$$

となるため，${\rm PA} - {\rm AQ}$ は $a$ の値によらず一定値 $\underline{2}$ をとる。$\quad \cdots 答$

(2)

3 点 ${\rm Q, \, A, \, B}$ はこの順に同一直線上に並んでいるから，${\rm B} \left( b, \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{8} b^2 \right)$ とおくと，(1) より

$$
\begin{align}
& {\rm PA} + {\rm AB} + {\rm BC} \\
&= ({\rm QA} + 2) + {\rm AB} + {\rm BC} \\
&= {\rm QB} + {\rm BC} + 2 \\
& = \sqrt{b^2+\left( \frac{\sqrt{2}}{8} b^2 - \sqrt2 \right)^2 } + \left( 2 - \frac{\sqrt{2}}{8} b^2 \right) + 2 \\
& = \sqrt{ \frac{2}{64} \left( b^4+16b^2+64 \right) } + \left( 2 - \frac{\sqrt{2}}{8} b^2 \right) + 2 \\
&= \frac{\sqrt{2}}{8} \left( b^2+8 \right) + \left( 2-\frac{\sqrt{2}}{8} b^2 \right) + 2 \\
& = 4+\sqrt{2}
\end{align}
$$

となるため，${\rm PA} + {\rm AB} + {\rm BC}$ は $a$ の値によらず一定値 $\underline{4 + \sqrt{2}}$ をとる。$\quad \cdots 答$

コ メ ン ト

(1) では，とりあえず普通に立てて出てきた厳めしい式を睨む中で，"きっとこの二重根号が外れるのだろう，じゃなきゃ解けない！(あるいは解くのがかなり大変だ！)" と思わなければなりません。
(2) では，点 ${\rm A}$ の座標を式に入れてしまうととても大変で，図形的状況を計算用紙の隅にでも書いて把握し (1) を使おうと思い直す必要があります。
（ちなみに，これらの値が綺麗に一定になる理由は，数学Ⅲ の 2 次曲線で放物線や双曲線の性質を学習した理系の皆さんであれば分からなければいけませんよ！）

前書きの通り，東大入試としては正直 “発想力が必要” というほどの問題ではなく，"普通に解けた" という人も少なくないでしょう。
一方で，このレベルでも思いつけず苦労する人が一定数いるのも事実です。

後者となってしまった人は，"問題の構造から展開・手法を予想する力" "前の小問を誘導として活用しようという精神" の向上を意識して，普段の学習に取り組みましょう！